9. 任意数域中最一般互反律的证明
对于任意数域，需证明次幂剩余的互反律，其中表示奇素数；此外，还需证明当为的幂次或奇素数的幂次时的互反律。
我相信，通过对我所发展的次单位根域理论[23]以及我的相对二次域理论[24]进行适当推广，即可得到该互反律本身，以及证明该互反律所必需的方法。
[23]《德国数学会年度报告》，《论代数数域理论》（Ueber die theorie der algebraischen Zahlk?rper），第4卷（1897年），第五部分。
[24]《数学年刊》，第51卷；以及《哥廷根皇家科学协会通讯》，1898年。
10. 丢番图方程可解性的判定
给定一个丢番图方程，该方程包含任意多个未知数，且系数为有理整数：设计一种方法，通过有限次运算，判定该方程是否存在有理整数解。
11. 具有任意代数数值系数的二次型
当前我们对二次数域理论[25]的认知，使我们能够成功研究包含任意多个变量、且系数为任意代数数值的二次型理论。这尤其引出一个有趣的问题：对于给定的、系数为代数数值且包含任意多个变量的二次方程，求其在由系数确定的有理代数域中的整数解或分数解。
下述重要问题可作为连接代数与函数论的桥梁：
[25]希尔伯特（hilbert），《论狄利克雷双二次数域》（Ueber den dirichletschen biquadratischen Zahlenk?rper），《数学年刊》，第45卷；《论相对二次数域理论》（Ueber die theorie der relativquadratischen Zahlenk?rper），《德国数学会年度报告》，1897年，以及《数学年刊》，第51卷；《论相对阿贝尔域理论》（Ueber die theorie der relativ-Abelschen K?rper），《哥廷根皇家科学协会通讯》，1898年；《几何基础》（Grundlagen der Geometrie），莱比锡，1899年，第八章，第83节[汤森德（townsend）英译版，芝加哥，1902年]。另可参见G.吕克尔（G. Ruckle）的博士论文，哥廷根，1901年。
12. 将克罗内克阿贝尔域定理推广至任意有理代数域
每个阿贝尔数域都可由有理数域通过单位根域的合成得到，这一定理归功于克罗内克（Kronecker）。这一积分方程理论中的基本定理包含两部分内容，具体如下：
第一部分：回答了关于方程的数量与存在性问题——即存在多少个、是否存在这样的方程：它们具有给定的次数、给定的阿贝尔群，且相对于有理数域具有给定的判别式。
第二部分：指出这类方程的根构成一个代数数域，该数域与将指数函数的自变量依次取所有有理数值时所得到的数域一致。
第一部分内容涉及通过代数数的群与分歧性来确定某些代数数的问题。因此，这一问题与“根据给定黎曼曲面确定对应代数函数”这一已知问题相对应。第二部分内容则通过超越方法（即借助指数函数）给出了所需的代数数。
由于虚二次数域是除有理数域外最简单的数域，因此产生了将克罗内克定理推广到这一情形的问题。克罗内克本人曾断言，二次域中的阿贝尔方程可由具有特殊模的椭圆函数变换方程给出，由此，椭圆函数在此处扮演的角色，与前文情形中指数函数所扮演的角色相同。目前尚未有人给出克罗内克这一猜想的证明；但我相信，基于h.韦伯（h. weber）借助我所建立的类域纯算术定理发展而来的复乘法理论[26]，要证明这一猜想不会遇到太大困难。
最后，将克罗内克定理推广到如下情形，在我看来具有至关重要的意义：不再以有理数域或虚二次数域为基础，而是以任意代数域作为有理域。我认为，这一问题是数论与函数论中最深刻、影响最深远的问题之一。
从多个角度来看，这一问题都是可研究的。在我看来，解决该问题算术部分的最重要关键，是任意给定数域中次幂剩余的一般互反律。
至于该问题的函数论部分，研究者在这一极具吸引力的领域开展工作时，可借助单变量代数函数理论与代数数理论之间显着的类比关系。亨塞尔（hensel）[27]提出并研究了代数数理论中与“代数函数幂级数展开”相对应的类比问题；兰茨贝格（Landsberg）[28]则探讨了与“黎曼-罗赫定理”相对应的类比问题。黎曼曲面的亏格与数域类数之间的类比关系也十分明显。仅以最简单的情况为例：一方面考虑亏格为（原文未明确写出具体亏格符号，此处按上下文保留“亏格为”后的留白）的黎曼曲面，另一方面考虑类数为（原文未明确写出具体类数符号，此处按上下文保留“类数为”后的留白）的数域。“证明黎曼曲面上存在处处有限的积分”这一问题，对应着“证明数域中存在整数（原文未明确写出具体整数符号，此处按上下文保留“整数”表述），使得数（原文未明确写出具体数的符号，此处按上下文保留“数”表述）生成一个相对于基域无分歧的二次域”这一问题。在代数函数理论中，众所周知，边值问题（Randwerthaufgabe）的方法可用于证明黎曼存在定理。而在数域理论中，证明上述整数（原文未明确写出具体整数符号，此处按上下文保留“整数”表述）的存在性，同样是难度最大的问题。要完成这一证明，必须借助“数域中总存在与给定剩余性质相对应的素理想”这一定理的支撑。因此，后一事实正是数论中与“边值问题”相对应的类比对象。
众所周知，代数函数理论中的阿贝尔定理方程，给出了“黎曼曲面上的给定点数是该曲面上某一代数函数的零点”这一结论的充要条件。在类数为（原文未明确写出具体类数符号，此处按上下文保留“类数为”后的留白）的数域理论中，与阿贝尔定理完全对应的，是二次互反律方程[29]（原文未明确写出具体方程，此处按上下文保留“二次互反律方程”表述）。该方程表明：理想（原文未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述）是数域的主理想，当且仅当数（原文未明确写出具体数的符号，此处按上下文保留“数”表述）关于理想（原文未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述）的二次剩余为正。
由此可见，在刚才概述的问题中，数学的三个基础分支——数论、代数与函数论——实现了最紧密的联系。我确信，尤其是多变量解析函数理论，若有人能成功找到并研究这样一类函数（这类函数对任意代数数域所起的作用，相当于指数函数对有理数域、椭圆模函数对虚二次数域所起的作用），其内容必将得到显着丰富。
接下来转向代数领域，我将提及一个来自方程理论的问题，以及一个由代数不变量理论引出的问题。
[26]《椭圆函数与代数数》（Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen），布伦瑞克，1891年。
[27]《德国数学会年度报告》，第6卷；以及即将发表于《数学年刊》的一篇文章[第55卷，第301页]：《论代数数的幂级数展开》（Ueber die Entwickelung der algebraischen Zahlen in potenzreihen）。
[28]《数学年刊》，第50卷（1898年）。
[29]参见希尔伯特（hilbert）：《论相对阿贝尔数域理论》（Ueber die theorie der relativ-Abelschen Zahlk?rper），《哥廷根通讯》（G?tt. Nachrichten），1898年。
13. 能否借助仅含两个自变量的函数求解一般七次方程
列线图解法（Nomography）[30]研究的问题是：通过绘制依赖于任意参数的曲线族来求解方程。显然，系数仅依赖于两个参数的方程的每个根（即每个二元函数），都可依据列线图解法的基本原理，以多种方式表示出来。此外，有一大类含三个或更多变量的函数，显然无需借助可变元素，仅通过这一原理就能表示——即所有可通过以下方式生成的函数：先构造一个二元函数，再将该函数的两个自变量分别设为二元函数，接着再将这些新的自变量依次替换为二元函数，如此循环下去，且允许进行任意有限次的二元函数嵌套。例如，任意多个自变量的有理函数都属于这类可通过列线图表构造的函数；因为有理函数可通过加、减、乘、除运算生成，而每种运算都仅产生二元函数。不难看出，在有理数域中可通过根式求解的所有方程的根，也属于这类函数；因为此处除了四种算术运算外，仅需增加开方运算，而开方运算本质上是一元函数。同理，一般的五次和六次方程也可通过合适的列线图表求解；因为借助仅需开方运算的契尔恩豪森变换（tschirnhausen transformations），可将这些方程化为系数仅依赖于两个参数的形式[第26页]。
然而，一般七次方程的根作为其系数的函数，很可能不属于这类可通过列线法构造的函数，即无法通过有限次二元函数嵌套来构造。要证明这一点，需先证明：七次方程（原文未明确写出具体方程，此处按上下文保留“七次方程”表述）无法借助任何仅含两个自变量的连续函数求解。容我补充说明，我已通过严格的方法证实：存在含三个自变量（原文未明确写出具体自变量符号，此处按上下文保留“三个自变量”表述）的解析函数，无法通过有限次二元函数嵌套得到。
不过，通过引入辅助可动元素，列线图解法能够构造含两个以上自变量的函数。近期，多卡涅（docagne）已在一般七次方程的求解中证明了这一点[31]。
[30]多卡涅（docagne），《列线图解法教程》（traité de Nomographie），巴黎，1899年。
[31]《论七次方程的列线图解法求解》（Sur la resolution nomographiqne de léquation du septième degré），《法国科学院院报》（ptes rendus），巴黎，1900年。
14. 某些完备函数系的有限性证明
在代数不变量理论中，我认为“型的完备系是否有限”这一问题值得特别关注。近期，L.毛雷尔（L. maurer）[32]成功将我与p.哥尔丹（p. Gordan）在不变量理论中证明的有限性定理进行了推广——不再以一般射影群为基础定义不变量，而是将任意子群作为不变量定义的基础。
A.胡尔维茨（A. hurwitz）[33]已在这一方向上迈出了重要一步。他通过巧妙的方法，成功对“任意基型的正交不变量系具有有限性”这一结论进行了完全一般性的证明。
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